【人教版】初中数学七年级下册: 从平衡到非对称：不等式的性质与号向转折

Nesta aula, passaremos da "estética de equilíbrio" das igualdades para a "assimetria dinâmica" das desigualdades. O raciocínio central está em entender quando a direção do sinal permanece "inercial" e em quais condições extremas ocorre uma "inversão dramática" — ou seja, ao quebrar a relação de ordem original por meio da operação com números negativos na Propriedade 3, o que é a base para dominar a lógica dos sistemas de desigualdades.

1. Método da diferença: a essência das relações de desigualdade

A essência das relações de desigualdade é o deslocamento relativo dos valores na reta numérica. Esse raciocínio, que utiliza o resultado da subtração para determinar a relação de maior/menor, é a base para resolver desigualdades complexas:

Quando $a - b > 0$, então $a > b$;
Quando $a - b = 0$, então $a = b$;
Quando $a - b < 0$, então $a < b$.

2. Conservação do sinal: translação e ampliação positiva

Siga as Propriedades 1 e 2 das desigualdades. Quando se adiciona ou subtrai o mesmo número em ambos os lados da desigualdade, ou quando se multiplica ou divide por um número positivo, os pontos na reta numérica podem se mover ou se expandir, mas sua ordem relativa permanece inalterada.

Propriedade 1: Adicionando (ou subtraindo) o mesmo número (ou expressão) em ambos os lados da desigualdade, a direção do sinal não muda.
Propriedade 2: Multiplicando (ou dividindo) ambos os lados da desigualdade por um número positivo, a direção do sinal não muda.

3. Efeito espelho: o 'ponto singular' da inversão de sinal

Este é o ponto técnico mais importante desta aula. Quando multiplicamos (ou dividimos) ambos os lados da desigualdade por um número negativo, a direção do sinaldeve mudar. Isso revela o efeito de 'inversão espelhada' do sinal negativo nas operações com desigualdades.

Propriedade 3 (essencial)

Se $a > b$ e $c < 0$, então $ac < bc$ (ou $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$).

🎯 Resumo das fórmulas essenciais

1. Se $a > b$, então $a \pm c > b \pm c$.
2. Se $a > b$ e $c > 0$, então $ac > bc$.
3. Se $a > b$ e $c < 0$, então $ac < bc$.

PERGUNTA 1

Preencha com "$>$" ou "$<$": $5 > 3, 5+2 \_\_ 3+2, 5-2 \_\_ 3-2$.

>, >

<, <

>, <

<, >

PERGUNTA 2

Sabendo que $6 > 2$, então $6 \times (-5) \_\_ 2 \times (-5)$.

$>$

$<$

$=$

Não é possível determinar

PERGUNTA 3

Supondo $a > b$, então $-4a \_\_ -4b$.

$>$

$<$

≥

≤

PERGUNTA 4

Compare o tamanho de $\sqrt{8}$ e $\sqrt{10}$.

$\sqrt{8} > \sqrt{10}$

$\sqrt{8} < \sqrt{10}$

$\sqrt{8} = \sqrt{10}$

PERGUNTA 5

Zhao Jun diz que a desigualdade $a > 2a$ nunca será verdadeira. Ele está certo?

Sim, porque $1 > 2$ não é verdadeiro

Não, quando $a < 0$ é verdadeiro

Sim, derivado da Propriedade 2

Não, quando $a = 0$ é verdadeiro

PERGUNTA 6

Compare o tamanho de $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ e $0.5$.

$>$

$<$

$=$

PERGUNTA 7

Resolva a desigualdade $x-7 > 26$.

$x > 19$

$x < 33$

$x > 33$

$x > 33$ e $x \neq 0$

PERGUNTA 8

Resolva a desigualdade $-4x > 3$.

$x > -\frac{3}{4}$

$x < -\frac{3}{4}$

$x < \frac{3}{4}$

$x > \frac{4}{3}$

PERGUNTA 9

Um recipiente retangular tem comprimento $5\text{cm}$, largura $3\text{cm}$ e altura $10\text{cm}$. A altura inicial da água é $3\text{cm}$. Após adicionar $V\text{cm}^3$ de água, qual é o intervalo de $V$?

$0 < V < 150$

$0 < V \leq 105$

$3 < V < 10$

$V \leq 150$

PERGUNTA 10

Concurso com 20 questões. Cada resposta correta vale 10 pontos; cada erro ou questão não respondida desconta 5 pontos. Para obter mais de 90 pontos, quantas questões devem ser respondidas corretamente?